Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）僅有一個極值點(diǎn)x=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若對任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0當(dāng)x∈[-1，1]時恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=x³+ax²+4x=x（x²+ax+4），
依題意知x²+ax+4≥0恒成立．    
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4，4]．   
（2）因?yàn)楫?dāng)a∈[-1，1]時，△=a²-16＜0，
所以x²+ax+4＞0．

于是當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0；

所以f（x）在[-1，0]為減函數(shù)，在[0，1]上為增函數(shù)．   
要使f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
只需滿足
即
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是．

分析：（1）可以求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究知x²+ax+4≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．
（2）對任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0當(dāng)x∈[-1，1]時恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性．通過求出b的范圍．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)取得極值的條件以及應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究含一個參數(shù)a的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，考查了分類討論思想．