已知P是圓x2+y2=9,上任意一點(diǎn),由P點(diǎn)向x軸做垂線段PQ,垂足為Q,點(diǎn)M在PQ上,且,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的軌跡方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,-2)的直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),試問在直線上是否存在點(diǎn)N,使得四邊形OANB為矩形,若存在求出N點(diǎn)坐標(biāo),若不存在說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),則可設(shè)P(x,y),Q(x,0),根據(jù)又,可確定y=3y,進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓的方程,求得曲線C的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l方程y=kx-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線與橢圓方程聯(lián)立消y,根據(jù)判別式大于0求得k的范圍,根據(jù)韋達(dá)定理分別求得x1+x2,x1x2和y1y2,根據(jù),判斷出x1x2+y1y2=0,求得k,再由矩形對(duì)角線互相平分求得yN和xN,進(jìn)而判斷所以存在這樣的點(diǎn)使得四邊形OANB為矩形.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),則可設(shè)P(x,y),Q(x,0),又,
∴y=3y,
∴P(x,3y)代入圓方程x2+y2=9,得曲線C的方程為
(Ⅱ)由已知知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l方程y=kx-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線與橢圓方程聯(lián)立消y,
得(1+9k2)x2-36kx+27=0,
△=(36k)2-4×27(9k2+1)>0,,

,
若四邊形OANB為矩形,則,
所以
所以,由矩形對(duì)角線互相平分,
得yN=
,
所以存在這樣的點(diǎn)、使得四邊形OANB為矩形.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,對(duì)于平面幾何、韋達(dá)定理等知識(shí)都有涉及,綜合性很強(qiáng).
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(2013•淄博一模)已知P是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),則P點(diǎn)到直線l:x+y-2
2
=0
的距離的最小值為( �。�

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