Question

函數y=log

1

2

(sinx-cosx)的單調增區(qū)間是（　　）

• A、[2kπ-

  π

  4

  ，2kπ+

  3π

  4

  ]，(k∈Z)
• B、[2kπ+

  3π

  4

  ，2kπ+

  7π

  4

  ]，(k∈Z)
• C、[2kπ+

  3π

  4

  ，2kπ+

  5π

  4

  ]，(k∈Z)
• D、[2kπ+

  π

  4

  ，2kπ+

  3π

  4

  ]，(k∈Z)

Answer 1

分析：根據對數函數的真數大于0和正弦函數的性質，求出原函數的定義域，再根據復合函數的單調性、對數函數、正弦函數的單調性，求出原函數的單調增區(qū)間．

解答：解：設u=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），由u＞0，
即sin（x-

π

4

）＞0，解得，2kπ＜x-

π

4

＜π+2kπ（k∈z），
∴

π

4

+2kπ＜x＜

5π

4

+2kπ，即函數的定義域是（

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ）（k∈z），
∵函數y=log

1

2

u在定義域內是減函數，∴原函數的單調增區(qū)間是u的減區(qū)間，
由

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ得，2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

，(k∈Z)，
∵函數的定義域是（

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ）（k∈z），
∴所求的函數單調增區(qū)間是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

]，(k∈Z)，
故選C．

點評：本題是有關函數單調性的綜合題，涉及了復合函數的單調性、對數函數以及正弦函數的單調性，對于對數型復合函數需要先求出原函數的定義域，這是易錯的地方．