Question

已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù)

 對(duì)于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的生成列及排列的母列；

（Ⅱ）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同；

（Ⅲ）對(duì)于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列．證明：一定可以經(jīng)過(guò)有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列．

 

Answer 1

【答案】

(I) ，；（II）詳見(jiàn)解析；（III）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（I）弄懂已知條件中生成列、母列定義即可求解；（II）弄懂“對(duì)于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．”是解題的關(guān)鍵；（III）把握第(I)問(wèn)，由特殊到一般，才能順利求(III).

試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為；         2分

排列的母列為．                          3分

（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．

從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，，，，．

顯然 ，，，，下面證明：．     5分

由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．

同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．

因?yàn)?與是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且，

所以 ， 從而 ．

所以排列和的生成列也不同．                8分

（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以 ．              9分

進(jìn)行一次變換后，排列變換為，設(shè)該排列的生成列為．  所以

      ．                  11分

因此，經(jīng)過(guò)一次變換后，整個(gè)排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和將至少增加．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501545329954145/SYS201309150156034201346952_DA.files/image007.png">的滿意指數(shù)，其中，

所以，整個(gè)排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和不超過(guò)，

即整個(gè)排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和為有限數(shù)，

所以經(jīng)過(guò)有限次變換后，一定會(huì)使各項(xiàng)的滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)．      13分

考點(diǎn)：1.分段函數(shù);2.數(shù)列新定義.