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12.在△ABC中,設內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,sin(\frac{π}{3}-C)+cos(C-\frac{π}{6})=\frac{{\sqrt{3}}}{2}
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若c=2\sqrt{3}且sinA=2sinB,求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)利用兩角差的正弦函數,余弦函數公式化簡已知可得cosC=\frac{1}{2},結合范圍0<C<π,即可解得C的值.
(Ⅱ)由正弦函數化簡sinA=2sinB,可得a=2b,利用余弦定理解得b,可求a的值,利用三角形面積公式即可得解.

解答 (本題滿分13分)
解:(Ⅰ)因為sin(\frac{π}{3}-C)+cos(C-\frac{π}{6})=\frac{{\sqrt{3}}}{2},所以cosC=\frac{1}{2},(3分)
因為在△ABC中,0<C<π,所以C=\frac{π}{3}. (5分)
(Ⅱ)因為sinA=2sinB,所以a=2b,(6分)
因為c2=a2+b2-2abcosC,
所以{(2\sqrt{3})^2}=4{b^2}+{b^2}-2×2{b^2}×\frac{1}{2}=3{b^2},(8分)
所以b=2,所以a=4.(11分)
所以{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}.(13分)

點評 本題主要考查了兩角差的正弦函數,余弦函數公式,正弦定理,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

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