Question

20．?dāng)?shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為1，且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．
（1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}前n項(xiàng)和為T_n，問T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．可得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系可得b_n．
（2）$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，∴數(shù)列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，∴S_n=n²．
∴n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（n=1時(shí)也成立）．
∴b_n=2n-1．
（2）$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
T_n＞$\frac{1000}{2009}$即：$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{1000}{2009}$，解得n＞$\frac{1000}{9}$．
滿足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數(shù)為112．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．