Question

設函數(shù)．
（Ⅰ） 當a＞1時，討論函數(shù)f（x）的單調性．
（Ⅱ）若對任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上單調遞減，從而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2），進而可得ma+ln2＞，由此可得實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）===…（5分）
當，即a=2時，，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當，即a＞2時，令f′（x）＜0，得或x＞1；
令f′（x）＞0，得．
當，即1＜a＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；
令f′（x）＞0，得．…（7分）
綜上，當a=2時，f（x）在定義域上是減函數(shù)；
當a＞2時，f（x）在和（1，+∞）單調遞減，在上單調遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（0，1）和單調遞減，在上單調遞…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上單調遞減，
∴當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值．
∴
∴ma+ln2＞（10分）
而a＞0經整理得由2＜a＜3得，所以m≥0．（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．