Question

已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)．
①求證：EF∥平面PAB．
②求證：DE⊥平面PAE．
③求二面角P-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析：①取PA的中點(diǎn)G，連接BG，PG，證明FG

∥

.

EB，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAB．
②證明PA⊥DE，AE⊥ED，以及PA∩AE=A，證明DE⊥平面PAE．
③判斷∠PEA就是二面角P-DE-A的二面角的平面角，然后直接求解即可．

解答：解：①證明：取PA的中點(diǎn)G，連接BG，PG，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)．
所以FG

∥

.

1

2

AD=EB，所以四邊形BEFG是平行四邊形，
因?yàn)镋F?平面PAB，BG?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．（4分）   
②證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，∴PA⊥DE，
底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E是BC的中點(diǎn)．
所以AE=

2

，ED=

2

，AD=2，∴AE⊥ED，又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE．（4分）   
③解：由②可知∠PEA就是二面角P-DE-A的二面角的平面角，
二面角P-DE-A的余弦值，cosα=

AE

PE

= 

AE

PA2+AE2

= 

2

1+2

=

6

3

（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力．