Question

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大小；
（Ⅲ）求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值大小．

Answer 1

分析：（1）欲證平面COD⊥平面AOB，先證直線與平面垂直，由題意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，進(jìn)一步易得平面COD⊥平面AOB
（2）解法一：求異面直線所成的角，需要將兩條異面直線平移交于一點(diǎn)，由D為AB的中點(diǎn)，故平移時(shí)很容易應(yīng)聯(lián)想到中位線，作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則DE∥AO，所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角
解法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OB、OA為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（3）本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的，第（1）問是為第（3）問作鋪墊的．求直線與平面所成的角，首先要作出這個(gè)平面的垂線，由第（1）問可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD與平面AOB所成的角，tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，當(dāng)OD最小時(shí)，tan∠CDO最大

解答：解：（I）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE2+DE2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為

6

4

．（9分）

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖，
則O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，
∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，
∴cos＜

OA

，

CD

＞=

OA • CD

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值為

6

4

．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，
且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

．當(dāng)OD最小時(shí)，∠CDO最大，這時(shí)，OD⊥AB，垂足為D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tanCDO=

2 3

3

，
∴CD與平面AOB所成角的最大時(shí)的正切值為

2 3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線所成的角的度量、線面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力