Question

已知函數(shù)f（x）=2Acos²（x+φ）-A（X∈R，A＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A）
（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（2）若點R的坐標為（1，0），∠PRQ=，求△PRQ的面積．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=2Acos²（x+φ）-A=A[2cos²（x+φ）-1）=Acos（x+2φ），
故函數(shù)的周期為T==6，
再由點P（1，A），可得 Acos（+2φ）=A，cos（+2φ）=1．

又因為|φ|＜，所以 φ=-． …（6分）
（2）設點Q的坐標為（x₀，-A），由題意可知 x₀-=π，得 x₀=4，所以Q（4，-A）．
連接PQ，則 PQ²=（4-1）²+（-A-A）²=9+4A²，
又因為 RP=A，RQ²=（4-1）²+（-A-0）²=9+A²，
在△PQR中，∠PRQ=，由余弦定理得 cos∠PRQ===-．
解得A²=3，∴A=．
故S_△PRQ=RP•RQ•sin=•A••sin==． …（12分）
分析：（1）利用二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為Acos（x+2φ），由此求得函數(shù)的周期．再把點P（1，A）代入函數(shù)的解析式，可得cos（+2φ）=1，結合 φ的范圍求得 φ的值．
（2）設點Q的坐標為（x₀，-A），求得得 x₀=4，在△PQR中，∠PRQ=，由余弦定理求得A的值，再由 S_△PRQ=RP•RQ•sin=•A••sin，運算求得結果．
點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，余弦定理、二倍角公式，以及三角形的面積公式，屬于中檔題．