Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，Sn=

a13+a23+…+an3

．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）證明：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．

Answer 1

分析：（1）由題意可知a1=S1=

a 3 1

，a1+a2=

a 3 1 + a 3 2

，將a₁=1代入上式可得a₂=2．
（2）由Sn=

a 3 1 + a 3 2 ++ a 3 n

，得a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²解得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．由此能夠?qū)С鯽_n=n．
（3）由于（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+，（1-x）ⁿ=C_n⁰-C_n¹x+C_n²x²-C_n³x³+，所以（1+x）ⁿ-（1-x）ⁿ-2nx=2C_n³x³+2C_n⁵x⁵+．再由分析法可知原不等式成立．

解答：（1）解：當(dāng)n=1時，有a1=S1=

a 3 1

，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
當(dāng)n=2時，有S2=

a 3 1 + a 3 2

，即a1+a2=

a 3 1 + a 3 2

，
將a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）解：由Sn=

a 3 1 + a 3 2 ++ a 3 n

，
得a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²，①
則有a₁³+a₂³++a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當(dāng)n≥1時都有a_n+1-a_n=1，所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
故a_n=n．
（3）證明1：由于（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+，（1-x）ⁿ=C_n⁰-C_n¹x+C_n²x²-C_n³x³+，
所以（1+x）ⁿ-（1-x）ⁿ=2C_n¹x+2C_n³x³+2C_n⁵x⁵+．
即（1+x）ⁿ-（1-x）ⁿ-2nx=2C_n³x³+2C_n⁵x⁵+．
令x=

1

2n

，則有(1+

1

2n

)n-(1-

1

2n

)n-1≥0．
即(1+

1

2n

)n≥1+(1-

1

2n

)n，
即（2n+1）ⁿ≥（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ
故a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．
證明2：要證a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ，
只需證（2n+1）ⁿ≥（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ，
只需證(1+

1

2n

)n≥1+(1-

1

2n

)n，
只需證(1+

1

2n

)n-(1-

1

2n

)n≥1．
由于(1+

1

2n

)n-(1-

1

2n

)n=[

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2n

)+

C

2 n

(

1

2n

)2+

C

3 n

(

1

2n

)3+]-[

C

0 n

-

C

1 n

(

1

2n

)+

C

2 n

(

1

2n

)2-

C

3 n

(

1

2n

)3+]=2[

C

1 n

(

1

2n

)+

C

3 n

(

1

2n

)3+

C

5 n

(

1

2n

)5+]=1+2[

C

3 n

(

1

2n

)3+

C

5 n

(

1

2n

)5+]≥1．
因此原不等式成立．

點評：本小題主要考查數(shù)列、不等式、二項式定理等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．