Question

3．拋物線(xiàn)C：y²=4x的交點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，p為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且P在第一象限，PM⊥l交C于點(diǎn)M，線(xiàn)段MF為拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)N，若PF的斜率為$\frac{3}{4}$，則$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過(guò)N作l的垂線(xiàn)，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐標(biāo)，可得cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得到$\frac{|MN|}{|NF|}$．

解答 解：拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
過(guò)N作l的垂線(xiàn)，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，
∵PF的斜率為$\frac{3}{4}$，∴可得P（4，4）．
∴M（-1，4），∴cos∠MFO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．