Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）-2cos（x+

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式將f（x）化為一角一函數(shù)形式得出f（x）=sin（2x-

π

6

），即可得到結(jié)論．．
（2）先求出2x-

π

6

的范圍，再求出值域．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）-2cos（x+

π

4

）sin（x+

π

4

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
最小正周期 T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得圖象的對稱軸方程 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得值域?yàn)閇-

3

2

，1]．

點(diǎn)評：本題考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，整體換元的思想方法．