已知b>-1，c>0，函數(shù)f(x)=x+b的圖像與函數(shù)g(x)=x2+bx+c的圖像相切．

（1）求b與c的關系式（用c表示b）；

（2）設函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在(-¥，+¥)內(nèi)有極值點，求c的取值范圍．

答案：
解析：

本小題考查導數(shù)、切線、極值等知識及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力

解：（1）依題意，令f(x)=g¢(x)，得2x+b=1，故x=

由于，得(b+1)2=4c．

∵ b>-1，c>0，∴ b=-1+．

（2）F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc．

∴ F¢(x)=3x2+4bx+b2+c．令F¢(x)=0，即3x2+4bx+b2+c=0．

則D=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c)

若D=0，則F¢(x)=0有一個實數(shù)根x0，且F¢(x)的變化如下：

x

(-¥，x0)

x0

(x0，+¥)

F¢(x)

+

0

+

于是x=x0不是函數(shù)F(x)的極值點．

若D>0，則F¢(x)=0有兩個不相等的實根x1、x2(x1<x2)，且F¢(x)的變化如下：

x

(-¥，x1)

x1

(x1，x2)

x2

(x2，+¥)

F¢(x)

+

0

-

0

+

由此x=x1是函數(shù)F(x)的極大值點，是x=x2函數(shù)F(x)的極小值點．

綜上所述，當且僅當D>0時，函數(shù)F(x)在(-¥，+¥)上有極值點．

由D=4(b2-3c)>0得b<或b>

∵ b=-1+，∴ -1+<或-1+>

解之得0<c<7-或c>7+．

故所求c的取值范圍是(0，7-)∪(7+，+¥)


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