Question

已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動，且，點P在線段MN上，滿足，記點P的軌跡為曲線W．

(1)求曲線W的方程，并討論W的形狀與的值的關(guān)系；

(2)當(dāng)時，設(shè)A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點，過原點的直線與曲線W交于C、D兩點，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線的方程為，為以原點為圓心、半徑為2的圓；當(dāng)時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓．（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出，根據(jù)已知條件以及 ，得到一個關(guān)系式，化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式為，分別討論當(dāng)，，時所表達(dá)的的形狀；（2）由，則曲線的方程是，得出，再設(shè)，依據(jù)對稱性得，表示出，根據(jù)基本不等式得到，故四邊形面積有最大值.

試題解析：（1）設(shè)，則，而由 ，則，解得，代入得：，化簡得.

當(dāng)時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓；

當(dāng)時，曲線的方程為，為以原點為圓心、半徑為2的圓；

當(dāng)時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓．

（2）由（1）當(dāng)時，曲線的方程是，可得．設(shè)，由對稱性可得．因此，四邊形的面積，

即，而，即，所以四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng)時，即且時取等號，故當(dāng)C的坐標(biāo)為時，四邊形面積有最大值.

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓錐曲線的聯(lián)立問題.