Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對任意的n∈N^*，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)A={a₁，a₂，…，a_n，…}，b_n=2×3^n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
①求證：對任意的n∈N^*，都有b_n∈A；
②設(shè)數(shù)列{b_n}的第n項(xiàng)是數(shù)列{a_n}中第r項(xiàng)，求

lim

n→∞

r

Tn

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a1=

1

8

(a1+2)2，a_n+1-a_n=4，由此能求出a_n=4n-2．
（2）①要證對任意的n∈N^*，都有b_n∈A，只要證：對任意的n∈N^*，存在m∈N^*，使得3^n-1+1=2m．
②由已知條件得2×3^n-1=4r-2，由此求出T_n=3ⁿ-1，從而能求出

lim

n→∞

r

Tn

的值．

解答： 本題滿分（20分），第1小題滿分（10分），第2小題滿分（10分）
（1）解：由題意

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
當(dāng)n=1時，a1=

1

8

(a1+2)2，解得a₁=2，（2分）
當(dāng)n≥2時，S_n+1=

1

8

（a_n+1+2）²．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

8

[(an+1+2)2-(an+2)2]，
整理，得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．（4分）
由題意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1-a_n=4．（2分）
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，即a_n=4n-2．（2分）
（2）①證明：要證對任意的n∈N^*，都有b_n∈A，
只要證：對任意的n∈N^*，存在m∈N^*，使得2×3^n-1=4m-2，即3^n-1+1=2m．
∵3^n-1是奇數(shù)，∴3^n-1+1為偶數(shù)，（2分）
∴存在正整數(shù)m=

3n-1+1

2

，使得2×3^n-1=4m-2．（3分）
∴數(shù)列{b_n}中的所有項(xiàng)都在數(shù)列{a_n}中，即B⊆A．
∴對任意的n∈N^*，都有b_n∈A．
②∵數(shù)列{b_n}的第n項(xiàng)是數(shù)列{a_n}中第r項(xiàng)，
∴2×3^n-1=4r-2，
解得r=

3n-1+1

2

，
∴T_n=3ⁿ-1，（3分）
∴

lim

n→∞

r

Tn

=

lim

n→∞

3n-1+1

2×(3n-1)

=

1

6

．（2分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查關(guān)于數(shù)列的證明和極限的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．