Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，

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），其中a＞0，a≠1
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)g（x）=a^2x-a^x-2+8，x∈[-2，1]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，f（5）=

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即可求得a=

1

2

；
（2）由于a=

1

2

，故g（x）=a^2x-a^x-2+8=[(

1

2

)x-2]2+4，x∈[-2，1]，(

1

2

)x∈[

1

2

，4]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（5）=a^5-1=a⁴=

1

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，
∴a=

1

2

；
（2）∵a=

1

2

，
∴g（x）=a^2x-a^x-2+8=(

1

2

)2x-4•(

1

2

)x+8=[(

1

2

)x-2]2+4，
∵x∈[-2，1]，
∴(

1

2

)x∈[

1

2

，4]，
∴當(dāng)x=-1，(

1

2

)x=2時(shí)，g（x）取得最小值，為4；
當(dāng)x=-2，(

1

2

)x=4時(shí)，g（x）取得最大值，為8；
∴函數(shù)g（x）=a^2x-a^x-2+8，x∈[-2，1]的值域?yàn)閇4，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，著重考查指數(shù)函數(shù)的值域的確定，屬于中檔題．