Question

如圖，橢圓方程為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的兩焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，過(guò)作的外角平分線的垂線,垂足為，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，定義與重合。

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點(diǎn)：點(diǎn)是軌跡內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且的面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。

   

   

 

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P不在軸上時(shí)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，連結(jié)OM，

,,是線段的中點(diǎn)，

………………………………………………………………………2分

。

點(diǎn)P在橢圓上，�！�………………………4分

當(dāng)點(diǎn)P在軸上時(shí)，M與P重合，

M點(diǎn)的軌跡方程為�！�…………………………………………6分

 

（Ⅱ）連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)，滿足,

分別過(guò)A,B作直線OE的兩條平行線，同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，

∴符合條件的點(diǎn)均在直線、上。……………………………………………7分

∵   ∴直線、的方程分別為：、。

………………………………………………………………………………………8分

設(shè)點(diǎn) （ ）∵在軌跡T內(nèi)，∴。…………9分

分別解與

得 與………………………………………………11分

∵∴為偶數(shù)，在上對(duì)應(yīng)的

在上，對(duì)應(yīng)的…………………………13分

∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：

。

………………………………………………………………………………………15分