Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=asinxcos2x+1（a，b∈R）．

（1）當(dāng)a=1，且 時(shí)，求f（x）的值域；

（2）若存在實(shí)數(shù) 使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到f（x）=2+sinx，再由二次函數(shù)解析式，討論軸和區(qū)間的關(guān)系得到最值；（2）存在實(shí)數(shù)x使得函數(shù)|f（x）|≥a2成立，∴存在t∈[﹣1，1]使得函數(shù)|2t2+at|≥a2成立，即存在t∈[﹣1，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立.

詳解：

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=sinx﹣cos2x+1=sinx﹣（1﹣2sin2x）+1=2sin2x+sinx

=2﹣；

時(shí)，sinx∈[﹣1，1]，

∴sinx=﹣時(shí)，f（x）取得最小值﹣，sinx=1時(shí)，f（x）取得最大值3，

∴f（x）的值域?yàn)?/span>[﹣，3]；

（2）f（x）=asinx﹣cos2x+1=asinx+2sin2x=2sin2x+asinx，

設(shè)t=sinx，則t∈[﹣1，1]，代入原函數(shù)得y=2t2+at，

∵存在實(shí)數(shù)x使得函數(shù)|f（x）|≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得函數(shù)|2t2+at|≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立，

①當(dāng)a=0時(shí)，2t2≥0或2t2≤0成立，

②當(dāng)a≠0時(shí)，由于2t2+at+a2≤0的△=﹣7a2＜0，不等式無解，

由2t2+at﹣a2≥0得（2t﹣a）（t+a）≥0，

當(dāng)a＞0時(shí)，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，﹣a]∪[，+∞），

由題意可得，≤1或﹣a≥﹣1，解得0＜a≤2，

當(dāng)a＜0時(shí)，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，]∪[﹣a，+∞），

由題意可得，﹣a≤1或≥﹣1，解得﹣2≤a＜0，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，2]．