Question

tanα=3^x，tanβ=3^-x，若α-β=

π

6

，則x=

0.5

．

Answer 1

分析：由α-β=

π

6

，利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將已知的tanα及tanβ的值代入得到關于3^x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

解答：解：∵α-β=

π

6

，tanα=3^x，tanβ=3^-x，
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

3x-3-x

1+3x•3-x

=

3

3

，
化簡得：3^x-3^-x=

2 3

3

，
去分母得：（3^x）²-

2 3

3

×3^x-1=0，即（3^x-

3

3

）²=

4

3

，
開方得：3^x-

3

3

=±

2 3

3

，
∴3^x=

3

或3^x=-

3

3

（舍去），
則x=0.5．
故答案為：0.5

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．在利用配方法解關于3^x的方程后，根據3^x大于0，要注意舍去不合題意的解．