Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x＞1時，f（x）＞lnx恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出其導函數(shù)，讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a-1＞${（\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}）}_{max}$令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}$，求出其導函數(shù)，利用導函數(shù)研究出其極大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）依題意f（x）-lnx＞0，即$\frac{1}{2}$x²+alnx-lnx＞0，
所以（a-1）lnx＞-$\frac{1}{2}$x²，
∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，
∴a-1＞$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}$，∴a-1＞${（\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}）}_{max}$
令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}$，則g′（x）=$\frac{-xlnx+\frac{1}{2}x}{{（lnx）}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=$\sqrt{e}$，
則x，g′（x），g（x）的變化如下：

x	（1，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值-e	↘

∴g（x）_max=-e，∴a-1＞-e，即a＞1-e．

點評 本題第二問考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．