Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+3x-2(x≤0) lnx(x＞0)

，若|f（x）|≥a（x-1），則a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-1]
• B、（-∞，1]
• C、[-1，1]
• D、[-1，0]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對x討論，①當x≥1時，②當0＜x＜1時，③當x≤0時，分別去掉絕對值，運用導(dǎo)數(shù)和參數(shù)分離，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，最后求交集即可得到a的范圍．

解答： 解：①當x≥1時，|f（x）|≥a（x-1）即為lnx≥a（x-1），
令y=lnx-a（x-1），y′=

1

x

-a，由于x≥1則0＜

1

x

≤1，
當a≤0時，y′＞0，函數(shù)y在x≥1遞增，即有y≥ln1-a（1-1）=0，成立；
當a≥1時，y′＜0，函數(shù)y在x≥1遞減，不等式不成立；
當0＜a＜1時，函數(shù)y不單調(diào)，則不成立；
②當0＜x＜1時，|f（x）|≥a（x-1）即為-lnx≥a（x-1），
令y=-lnx-a（x-1），y′=-

1

x

-a，由于0＜x＜1，則-

1

x

＜-1，
當a≥-1時，y′＜0，函數(shù)y在0＜x＜1遞減，即有y＞-ln1-a（1-1）=0，成立；
當a＜-1時，函數(shù)y不單調(diào)，則不成立；
③當x≤0時，|f（x）|≥a（x-1）即為x²-3x+2≥a（x-1），
即（x-2）（x-1）≥a（x-1），即有a≥x-2，
由x≤0，則x-2≤-2，即有a≥-2．
綜上可得，a≤0且a≥-1，且a≥-2，
即為-1≤a≤0，
故選D．

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，運用分類討論的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．