如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E是PC中點,F(xiàn)為線段AC上一點.
(Ⅰ)求證:BD⊥FE;
(Ⅱ)試確定點F在線段AC上的位置,使EF∥平面PBD,并說明理由.
分析:(Ⅰ)因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.由四邊形ABCD是正方形,得BD⊥平面PAC,由此能夠證明BD⊥EF.
(Ⅱ)設(shè)AC與BD交于O,當F為OC中點,即AF=
3
4
AC
時,EF∥平面PBD.再利用直線與平面平行的判定定理進行證明.
解答:證明:(Ⅰ)因為PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD. 又四邊形ABCD是正方形,
所以AC⊥BD,PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC,又EF?平面PAC,
所以BD⊥EF.…(7分)
(Ⅱ):設(shè)AC與BD交于O,當F為OC中點,即AF=
3
4
AC
時,EF∥平面PBD.理由如下:
連接PO,
因為EF∥平面PBD,EF?平面PAC,平面PAC∩平面PBD=PO,
所以EF∥PO.
在△POC中,E為PC的中點,
所以F為OC中點.
在△POC中,E,F(xiàn)分別為PC,OC的中點,
所以EF∥PO.
又EF?平面PBD,PO?平面PBD,
故EF∥平面PBD.…(14分)
點評:本題考查異面直線垂直的證明和直線與平面平行的判定,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地化空間問題為平面問題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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