Question

定義在（-1，1）上的單調(diào)函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

為奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

為奇函數(shù)，故f（0）=0，再結(jié)合f（

1

2

）=

2

5

解出a，b，從而求出函數(shù)的解析式；由函數(shù)的奇偶性，把不等式f（t-1）+f（t）＜0轉(zhuǎn)化為f（t-1）＜f（-t），利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（Ⅰ）有題意得：f（0）=0，得b=0，
又f（

1

2

）=

1 2 a+b

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1；
∴f（x）=

x

x2+1

；
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）為單調(diào)函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

＞f（0），
所以f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
由f（t-1）＜-f（t），
即f（t-1）＜f（-t），
所以

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，
解得：0＜t＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，注意奇函數(shù)中f（0）=0，屬于基礎(chǔ)題．