Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-的反函數(shù)f^-1（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，2），且函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（1）求y=f^-1（x）的解析式；
（2）求滿(mǎn)足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵反函數(shù)f^-1（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，2），
故函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，-1），∴-1=a²-，解得a=3，或a=．
又f（x）為減函數(shù)，∴a=，所以f（x）=-，f（x）＞-．
所以f^-1（x）=（x+），（x＞-）．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1），可得，解得．
故滿(mǎn)足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范圍是{x|x＞-且x≠1}．
分析：（1）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，-1），解得a的值，求出函數(shù)f（x）的解析式，從而得到 f^-1（x）的解析式．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）可得，，由此求出x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．