Question

（12分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1。求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一個不大于。

Answer 1

見解析

解法一：假設(shè)（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，
則（1－a）b·（1－b）c·（1－c）a＞ 
∵0＜a＜1，
∴a＞0，1－a＞0。
∴0＜a(1－a)≤[]²= 
同理0＜b(1－b)≤，0＜c(1－c)≤，
三式相乘得：0＜(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a≤ ②
①與②矛盾，故假設(shè)不成立
∴（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中至少有一個不大于
解法二：假設(shè)：假設(shè)（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，
∵0＜a＜1，0＜b＜1，
∴（1－a）+b≥＞=1
同理（1－b）+c＞1，（1－c）+a＞1
三式相加得：（1－a）+b+（1－b）+c+（1－c）+a＞3
即3＞3，不等式不成立，故假設(shè)不成立。