對(duì)于數(shù)列,定義“
變換”:
將數(shù)列
變換成數(shù)列
,其中
,且
.這種“
變換”記作
.繼續(xù)對(duì)數(shù)列
進(jìn)行“
變換”,得到數(shù)列
,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為
時(shí)變換結(jié)束.
(Ⅰ)試問經(jīng)過不斷的“
變換”能否結(jié)束?若能,請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“
變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(Ⅱ)設(shè),
.若
,且
的各項(xiàng)之和為
.
(�。┣�,
;
(ⅱ)若數(shù)列再經(jīng)過
次“
變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小,求
的最小值,并說明理由.
(Ⅰ)解:數(shù)列不能結(jié)束,各數(shù)列依次為
;
;
;
;
;….
以下重復(fù)出現(xiàn),所以不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形.
………3分
(Ⅱ)解:(�。┮�?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601205701153732/SYS201205260123151209517425_DA.files/image007.png">的各項(xiàng)之和為,且
, 所以
為
的最大項(xiàng),
所以最大,即
,或
.
…………5分
當(dāng)時(shí),可得
由,得
,即
,故
.…7分
當(dāng)時(shí),同理可得
,
.
………8分
(ⅱ)方法一:由,則
經(jīng)過
次“
變換”得到的數(shù)列分別為:
;
;
;
;
;
.
由此可見,經(jīng)過次“
變換”后得到的數(shù)列也是形如“
”的數(shù)列,與數(shù)列
“結(jié)構(gòu)”完全相同,但最大項(xiàng)減少12.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601205701153732/SYS201205260123151209517425_DA.files/image029.png">,
所以,數(shù)列經(jīng)過
次“
變換”后得到的數(shù)列為
.
接下來經(jīng)過“變換”后得到的數(shù)列分別為:
;
;
;
;
;
;
,……
從以上分析可知,以后重復(fù)出現(xiàn),所以數(shù)列各項(xiàng)和不會(huì)更�。�
所以經(jīng)過次“
變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小,
的最小值為
.
……………13分
方法二:若一個(gè)數(shù)列有三項(xiàng),且最小項(xiàng)為,較大兩項(xiàng)相差
,則稱此數(shù)列與數(shù)列
“結(jié)構(gòu)相同”.
若數(shù)列的三項(xiàng)為
,則無論其順序如何,經(jīng)過“
變換”得到的數(shù)列的三項(xiàng)為
(不考慮順序) .
所以與結(jié)構(gòu)相同的數(shù)列經(jīng)過“
變換”得到的數(shù)列也與
結(jié)構(gòu)相同,除
外其余各項(xiàng)減少
,各項(xiàng)和減少
.
因此,數(shù)列經(jīng)過
次“
變換”一定得到各項(xiàng)為
(不考慮順序)的數(shù)列.
通過列舉,不難發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為的數(shù)列,無論順序如何,經(jīng)過“
變換”得到的數(shù)列會(huì)重復(fù)出現(xiàn),各項(xiàng)和不再減少.
所以,至少通過次“
變換”,得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小,故
的最小值為
.
……………13分
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
20.(本小題共13分)
對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換
,
將數(shù)列
變換成數(shù)列
.
對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列,定義變換
,
將數(shù)列
各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列
;
又定義.
設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令
.
(Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列
;
(Ⅱ)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明
;
(Ⅲ)證明對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,存在正整數(shù)
,當(dāng)
時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年北京市西城區(qū)高三4月第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
對(duì)于數(shù)列,定義“
變換”:
將數(shù)列
變換成數(shù)列
,其中
,且
,這種“
變換”記作
.繼續(xù)對(duì)數(shù)列
進(jìn)行“
變換”,得到數(shù)列
,…,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為
時(shí)變換結(jié)束.
(Ⅰ)試問和
經(jīng)過不斷的“
變換”能否結(jié)束?若能,請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“
變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(Ⅱ)求經(jīng)過有限次“
變換”后能夠結(jié)束的充要條件;
(Ⅲ)證明:一定能經(jīng)過有限次“
變換”后結(jié)束.
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