【題目】如圖，在三棱錐中，為正三角形，為棱的中點(diǎn)，，，平面平面

（1）求證：平面平面；

（2）若是棱上一點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先根據(jù)平面平面，得出，結(jié)合條件得出平面，從而可得.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合與平面所成角的正弦值為得出的坐標(biāo)，然后利用法向量可求.

（1）因?yàn)?/span>為正三角形，為棱的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

所以，又，且，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）作中點(diǎn)，連，由（1）及可知平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過且平行于的方向?yàn)?/span>軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，

則,

，

設(shè)，則,，

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>與平面所成角的正弦值為，

所以，即，解得，

即為的中點(diǎn)，則

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

取.

設(shè)平面的法向量為，則，

則二面角的余弦值為，

故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為給定的不小于的正整數(shù)，考察個(gè)不同的正整數(shù)，，，構(gòu)成的集合，若集合的任何兩個(gè)不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”．

（1）分別判斷集合，集合是否是“差異集合”；（只需寫出結(jié)論）

（2）設(shè)集合是“差異集合”，記，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)集合是“差異集合”，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將于11月19日至23日在福建省廈門市舉辦，近日首批影展片單揭曉，《南方車站的聚會(huì)》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達(dá)之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進(jìn)行展映.若從這五部作品中隨機(jī)選擇兩部放在展映的前兩位，則《春潮》與《抵達(dá)之謎》至少有一部被選中的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別是、，且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)以為直角時(shí)，求直線的方程；

（3）直線的斜率存在且不為0時(shí)，試問軸上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年雙十一落下帷幕，天貓交易額定格在268（單位：十億元）人民幣（下同），再創(chuàng)新高，比去年218（十億元）多了50（十億元），這些數(shù)字的背后，除了是消費(fèi)者買買買的表現(xiàn)，更是購物車?yán)镏袊孪M(fèi)的奇跡，為了研究歷年銷售額的變化趨勢，一機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數(shù)據(jù)（單位：十億元）.繪制如下表1：

表1

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

銷售額

0.9

8.7

22.4

41

65

94

132.5

172.5

218

268

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖所示.

把銷售超過100（十億元）的年份叫“暢銷年”，把銷售額超過200（十億元）的年份叫“狂歡年”，從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個(gè)，求至少取到一個(gè)“狂歡年”的概率.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上，給出下列命題：

①若直線過點(diǎn)，則存在使拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心；

②若直線過點(diǎn)，則存在點(diǎn)使為直角三角形；

③存在，使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心；

④若邊的中線軸，，則的面積為.

其中正確的序號(hào)為______________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

上浮10%

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定，，記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車，假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:

①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；

②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：，（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，）且離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為P，過定點(diǎn)（2，﹣1）的直線l：y＝kx+m與橢圓C相交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的值．

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