Question

對(duì)于任意x∈[0，2]，總存在t∈（0，2]，使得e^x（x²-3x+1）≤at²+2t成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=e^x（x²-3x+1），x∈[0，2]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最大值1，得到存在t∈（0，2]，at²+2t≥1成立，運(yùn)用參數(shù)分離，再求右邊的最小值即可．

解答： 解：令f（x）=e^x（x²-3x+1），x∈[0，2]，
則f′（x）=e^x（x²-x-2），由f′（x）＜0，得到-1＜x＜2，
則[0，2]為f（x）的減區(qū)間，f（0）最大，且為1．
則由條件可得，存在t∈（0，2]，at²+2t≥1成立，
即有a≥

1-2t

t2

=（

1

t

-1）²-1，
由于t∈（0，2]，則

1

t

≥

1

2

，當(dāng)

1

t

=1，

1-2t

t2

取得最小值-1．
則a≥-1，即有a的取值范圍是：[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立和存在問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，及二次函數(shù)的值域，屬于中檔題和易錯(cuò)題．