Question

已知α是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sinα+cosα=

1

5

，則sin2α+cos²α的值為

-

3

5

．

Answer 1

分析：由α∈（0，π），sinα+cosα=

1

5

∈（0，1）可知α為鈍角，易求sin2α=-

24

25

，從而可求sinα-cosα=

7

5

，于是易求cosα=-

3

5

及答案．

解答：解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=

1

5

，①
∴sin²α+cos²α+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=

1

25

-1=-

24

25

＜0，
又sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴sinα-cosα＞0，
又（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-（-

24

25

）=

49

25

，
∴sinα-cosα=

7

5

，②
由①②得：cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

．
∴sin2α+cos²α=

1

25

-sin²α=

1-16

25

=-

3

5

．
故答案為：-

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，求得sinα-cosα=

7

5

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．