Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）存在，使得成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若對恒成立，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）轉(zhuǎn)化求函數(shù)g（x）在（0，π]上的最大值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求解；

（Ⅱ）依題意即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在（0，π]上的最小值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求解；

（Ⅲ）先表示出函數(shù)g（bx），將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求解，注意b的范圍的討論．

（Ⅰ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，

又，所以當(dāng)時(shí)，.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

所以，

由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，

由題意知，在上有解，所以，從而.

（Ⅲ）由，得對恒成立，

①當(dāng)，0，1時(shí)，不等式顯然成立.

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以取，

則有，此時(shí)不等式不恒成立.

③當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知在上單調(diào)遞減，而，

，

成立.

④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

則，不成立，

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有對恒成立.