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已知正項數(shù)列{bn}滿足b1=1,
b
2
n+1
-bn+1bn-2
b
2
n
=bn+1+bn
.若數(shù)列{an}滿足a1=1,an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)
(n≥2且n∈N*
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn
(2)證明:an>3•2n-1-2(n≥4,n∈N*);
(3)求證:(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)•…•(1+
1
an
)<
10
3
(n∈N*)
分析:(1)根據(jù)
b
2
n+1
-bn+1bn-2
b
2
n
=bn+1+bn
,化簡可得{bn+1}為首項為2,公比為2的等比數(shù)列,由此可求數(shù)列{bn}的通項公式bn;
(2)an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)
可化為
an
bn
=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
(n≥2)
,再寫一式,兩式相減可得an+1>2an+2,由此可得結(jié)論;
(3)由(2)知(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)•…•(1+
1
an
)
=
a1+1
a1
×
a2+1
a2
×…×
an+1
an
=2(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)
,根據(jù)
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=1+
1
3
+…+
1
2n-1
,利用放縮法,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:∵
b
2
n+1
-bn+1bn-2
b
2
n
=bn+1+bn

∴(bn+1-2bn)(bn+1+bn)=bn+1+bn
∵bn>0
∴bn+1=2bn+1,
∴bn+1+1=2(bn+1),
∴{bn+1}為首項為2,公比為2的等比數(shù)列
∴bn+1=2•2n-1=2n
∴bn=2n-1;
(2)證明:∵an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)

an
bn
=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
(n≥2)

an+1
bn+1
=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
+
1
bn

②-①可得
an+1
bn+1
=
an+1
bn

an+1
an+1
=
bn
bn+1
=
2n-1
2n+1-1
1
2

∴an+1>2an+2(n≥2),n=1時也成立
an+1>2an+2>…>2na1+2n+…+22+2=3•2n-2
an>3•2n-1-2
(3)由(2)知(1+
1
a1
)•(1+
1
a2
)•…•(1+
1
an
)
=
a1+1
a1
×
a2+1
a2
×…×
an+1
an

=
1
a1
×
a1+1
a2
×…×
an+1
an+1
×an+1
=
2
3
×
b2
b3
×…×
bn
bn+1
×an+1
=
2
3
×
b2
bn+1
×an+1
=2(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)

1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=1+
1
3
+…+
1
2n-1

當k≥2時,
1
2k-1
<2(
1
2k-1
-
1
2k+1-1

∴1+
1
3
+…+
1
2n-1
<1+2[(
1
22-1
-
1
23-1
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1-1

=1+2(
1
3
-
1
2n+1-1
)<
5
3

∴原不等式成立.
點評:本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列與不等式的結(jié)合,考查學生分析解決問題的能力,難度較大.
練習冊系列答案
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14
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同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞诲€濆畷顐﹀Ψ閿旇姤鐦庡┑鐐差嚟婵敻鎳濇ィ鍐ㄧ厴闁瑰鍋涚粻鐘绘⒑缁嬪尅鏀绘い銊ユ楠炲牓濡歌閸嬫捇妫冨☉娆忔殘閻庤娲栧鍫曞箞閵娿儺娓婚悹鍥紦婢规洟姊绘担铏瑰笡濞撴碍顨婂畷鏉库槈濮樺彉绗夊┑鐐村灦鑿ゆ俊鎻掔墛缁绘盯宕卞Ο鍝勵潔濡炪倕绻掗崰鏍ь潖缂佹ɑ濯撮柤鎭掑劤閵嗗﹪姊洪棃鈺冪Ф缂佺姵鎹囬悰顔跨疀濞戞瑦娅㈤梺璺ㄥ櫐閹凤拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欑粈鍐┿亜閺囧棗娲ら悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿鍔欓弻娑樷枎韫囷絾效闂佽鍠楅悷褏妲愰幘瀛樺闁告繂瀚烽埀顒€鐭傞弻娑㈠Ω閵壯冪厽閻庢鍠栭…閿嬩繆閹间礁鐓涢柛灞剧煯缁ㄤ粙姊绘担鍛靛綊寮甸鍌滅煓闁硅揪瀵岄弫鍌炴煥閻曞倹瀚�