Question

【題目】已知橢圓:的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為，

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，以及列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)列方程，得到的關(guān)系式.求出面積的表達(dá)式，利用配方法求得面積的最大值，進(jìn)而求得直線的方程.

（1）由題意 解得 故橢圓的方程為.

（2）因?yàn)?/span>，若直線斜率不存在，則直線過(guò)原點(diǎn)，

，，不能構(gòu)成三角形，所以直線的斜率一定存在，

設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

由，得，

所以，.

因?yàn)?/span>，所以，

即，

得，顯然，所以.

又，得，

點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)?/span>面積，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，有最大值8，即的最大值為，

此時(shí)，所以直線的方程為.