Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4，底面ABC是正三角形，AB=2，四邊形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁為直二面角，D為AC的中點．
（1）證明：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接B₁C交BC₁于O，連接DO，由三角形的中位線性質可得  DO∥AB₁ ，從而證明AB₁∥平面BDC₁ ．
（2）建立空間直角坐標系B-xyz如圖所示，分別求出平面CBC₁與BC₁D的一個法向量的坐標，代入向量夾角公式，即可求出二面角C-BC₁-D的余弦值．

解答：解：（1）證明：連接B₁C交BC₁于O，連接DO，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴O為B₁C中點又D為AC中點，從而DO∥AB₁ ．
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁ ．
•
（2）建立空間直角坐標系B-xyz如圖所示，
則 A(

3

，1，0)，C（0，2，0），C1(0，2，2

3

)，B（0，0，0），D(

3

2

，

3

2

，0)
所以

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)， 

BC1

=(0，2，2

3

)
設

n1

=(x，y，z)為平面BDC₁的法向量，
則有

BD • n1 = 3 2 x+ 3 2 y=0 BC1 • n1 =2y+2 3 z=0

∴可得平面BDC₁的一個法向量為

n1

=(3，-

3

，1)，
而平面BCC₁的法向量為

n2

=(1，0，0)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

3 13

13

，
所以二面角C-BC₁-D的余弦值

3 13

13

，

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是證得DO∥AB₁，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．