Question

如圖所示，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點D₁、F₁分別是A₁B₁和A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁=2，
（Ⅰ） 求BD₁與AF₁所成角的余弦值；
（Ⅱ） 求直線AF₁和平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出

BD1

=（1，-1，2），

AF1

=（-1，0，2），利用向量夾角公式，即可求BD₁與AF₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出

AF1

=（-1，0，2），平面ABC的一個法向量為

k

=（0，0，1），利用向量夾角公式，求直線AF₁和平面ABC所成的角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，以

CA

，

CB

，

CC1

分別為x，y，z軸的非負半軸建立空間直角坐標系，
由BC=CA=CC₁=2，得A（2，0，0），B（0，2，0），
C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2）．
∵D₁、F₁為A₁B₁、A₁C₁的中點，
∴D₁（1，1，2），F(xiàn)₁（1，0，2），
∴

BD1

=（1，-1，2），

AF1

=（-1，0，2），
∴

BD1

•

AF1

=（1，-1，2）•（-1，0，2）=3，
|

BD1

|=

6

，|

AF1

|=

5

，
∴|cos＜

BD1

，

AF1

＞|=

3

6 × 5

=

30

10

，即BD₁與AF₁所成角的余弦值為

30

10

；
（Ⅱ）∵

AF1

=（-1，0，2），平面ABC的一個法向量為

k

=（0，0，1），
∴直線AF₁和平面ABC所成的角的正弦值為

2

5 •1

=

2 5

5

．

點評：本題考查空間角，考查空間向量知識的運用，正確求向量是關鍵．