Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1=1，|an+1－an|=pn，n∈N*，Sn為數列{an}的前n項和.

（1）若{an}是遞增數列，且a1，2a2，3a3成等差數列，求p的值；

（2）若p=，且{a2n－1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列，求數列{an}的通項公式；

（3）在（2）的條件下，令cn=n（an+1－an），求數列{cn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】（1）p=.（2）an=+·.（3）

【解析】分析：（1）由題意得到關于p的方程，解方程可得p=.

（2）由題意可知a2n+1－a2n－1>0，討論可得a2n－a2n－1=. 同理有a2n+1－a2n=. 則數列的通項公式為an=+·.

（3）結合(2)中的結果首先求得數列的通項公式，然后求解其前n項和即可.

詳解：（1）因為{an}是遞增數列，所以an+l－an=an+1－an=pn.

因為a1=1，a1，2a2，3a3成等差數列，所以4a2=a1+3a3，

則3a3－3a2=a2－a1，即3p2－p=0，解得p=或p=0.

當p=0時，an+1=an，這與{an}是遞增數列矛盾，

所以p=.

（2）由于{a2n－1}是遞增數列，因而a2n+1－a2n－1>0，

所以（a2n+1－a2n）+（a2n－a2n－1）>0.

因為<，所以a2n+1－a2n<a2n－a2n－1.

所以a2n－a2n－1>0，

因此a2n－a2n－1=（）2n－1=.

因為{a2n}是遞減數列，同理可得，a2n+1－a2n<0，

所以a2n+1－a2n=－（）2n=.

所以an+1－an=.

于是an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）

==1+－+…+，

所以數列{an}的通項公式為an=+·.

(3)由題意可知： ，

則數列{cn}的前n項和.