Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝xln x－aex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)

A. B.(0，e)

C. D.(－∞，e)

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)題意將導(dǎo)函數(shù)為零轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，然后求的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定圖象，最后根據(jù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

f(x)＝x ln x－aex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1－aex(x>0)，由已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得y＝a和g(x)＝在(0，＋∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

g′(x)＝ (x>0)，令h(x)＝－ln x－1，

則h′(x)＝－－<0，

∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減且h(1)＝0，

∴當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，g(x)≤g(1)＝，

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，

故g(x)max＝g(1)＝，

而x→0時(shí)，g(x)→－∞，x→＋∞時(shí)，g(x)→0；

若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，只需0<a<.