Question

【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)在處取到極值.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若函數(shù)，且函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求解值，則曲線在處的切線方程可求；

（2）求出函數(shù)的解析式，由，根據(jù)已知有

三個(gè)解，存在兩個(gè)不同于的零點(diǎn)， 設(shè)，求出取值范圍，結(jié)合的函數(shù)特征，可判斷是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，研究的單調(diào)性，把證明轉(zhuǎn)化為證明即可.

（1）， ，

函數(shù)在處取到極值，，即.

則，，

∴曲線在處的切線方程為；

（2），

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且，

令，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

是的最小值；有三個(gè)極值點(diǎn)，

，得.

的取值范圍為，

當(dāng)時(shí)，，，

；即，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).

，消去得；

令，，

的零點(diǎn)為，且.

在上遞減，在上遞增.

要證明，即證，

等價(jià)于證明，即.

，即證.

構(gòu)造函數(shù)，則；

只要證明在上單調(diào)遞減，

函數(shù) 在單調(diào)遞減；

增大時(shí)，減小，增大，減小，

在上是減函數(shù).

在上是減函數(shù).

當(dāng)時(shí)， .

即.