Question

已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，離心率是．橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A，B．點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AS，BS與直線(xiàn)分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值；
（3）當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上的T滿(mǎn)足：△TSA的面積為．試確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17767.png' />，且，所以
所以橢圓C的方程為
（2 ） 易知橢圓C的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，0），B（2，0），直線(xiàn)AS的斜率k顯然存在，且k＞0
故可設(shè)直線(xiàn)AS的方程為y=k（x+2），從而
由{，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則，得
從而，即
又B（2，0），故直線(xiàn)BS的方程為
由得，
所以，故
又k＞0，所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即k=1時(shí)等號(hào)成立
所以k=1時(shí)，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值…..（9分）
（3）由（2）知，當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，k=1
此時(shí)AS的方程為x-y+2=0，，
所以，要使△TSA的面積為，
只需點(diǎn)T到直線(xiàn)AS的距離等于，
所以點(diǎn)T在平行于AS且與AS距離等于的直線(xiàn)l′上
設(shè)l′：x-y+t=0，則由，解得
1當(dāng)2時(shí)，由
得5x²+12x+5=607
由于△=44＞0，故直線(xiàn)l′與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)
②時(shí)，由得5x²+20x+21=0由于△=-20＜0，
故直線(xiàn)l′與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn)
綜上所求點(diǎn)T的個(gè)數(shù)是2．
分析：（1）因?yàn)橐阎�離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)，故可解出橢圓的a，c及b，即知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)，依定義寫(xiě)出橢圓的方程即可．
（2）引入直線(xiàn)AS的斜率k，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及點(diǎn)S的坐標(biāo)，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，故可解 出直線(xiàn)SB的方程，亦用參數(shù)k表示的方程，使其與直線(xiàn)l聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，故線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度可以表示成直線(xiàn)AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式選擇單調(diào)性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
（3）在上一問(wèn)的基礎(chǔ)上求出參數(shù)k，則直線(xiàn)SB的方程已知，可求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，若使面積為 ，只須點(diǎn)T到直線(xiàn)BS的距離為 即可，由此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究與直線(xiàn)SB平行且距離為 的直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題即得．
點(diǎn)評(píng)：本題是解析幾何中直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系中很復(fù)雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對(duì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系中特征有較好 的理解，且符號(hào)運(yùn)算能力較強(qiáng)才能勝任此類(lèi)題的解題工作，這是一個(gè)能力型的題，好題．