Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率的取值范圍正好是函數(shù)f（x）=2^x+2^-x（-1≤x≤2）的值域，則該雙曲線漸近線的斜率取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  ，

  273

  4

  ]∪[-

  273

  4

  ，-

  2

  ]
• B、[

  3

  ，

  273

  4

  ]∪[-

  273

  4

  ，-

  3

  ]
• C、[-

  273

  4

  ，

  2

  ]
• D、[-

  273

  4

  ，

  3

  ]

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，可求得函數(shù)f（x）=2^x+2^-x（-1≤x≤2）的值域為[2，

17

4

]，即雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e∈[2，

17

4

]，于是可求得

3

≤

b

a

≤

273

4

，利用其漸近線斜率k=±

b

a

，即可求得答案．

解答： 解：∵-1≤x≤2，
∴

1

2

≤2^x≤4，令t=2^x（

1

2

≤t≤4），
則g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴當t=1時，g（t）_min=g（1）=2；
當t=4時，g（t）_max=g（4）=4+

1

4

=

17

4

，
∴函數(shù)f（x）的值域為[2，

17

4

]，即雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e∈[2，

17

4

]．
∵該雙曲線漸近線為y=±

b

a

x，其斜率k=±

b

a

，
由e=

c

a

∈[2，

17

4

]得：
e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

∈[4，

289

16

]，
∴3≤

b2

a2

≤

273

16

，又a＞0，b＞0，
∴

3

≤

b

a

≤

273

4

，即

3

≤±k≤

273

4

，
∴

3

≤k≤

273

4

，或-

273

4

≤k≤-

3

，
即該雙曲線漸近線的斜率取值范圍是[

3

，

273

4

]∪[-

273

4

，-

3

]，
故選：B．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，著重考查其漸近線斜率的取值范圍，求得其離心率的取值范圍是關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于難題．