Question

四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)時(shí)，分別給出下面四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；       
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)?nbsp;（-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則 fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立．  
你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的有

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及遞推關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴函數(shù) f（x）為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈（0，1），
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1，
∵x＜0，
∴-x＞0，1-x＞1，
∴0＜

1

1-x

＜1，-1＜

1

1-x

-1＜0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-1，0），
又f（0）=0，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?nbsp;（-1，1），即②正確；
由②的分析可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1-

1

1+x

為單調(diào)函數(shù)，同理，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1也是單調(diào)函數(shù)，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確；
對(duì)于④，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，…
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

的性質(zhì)，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于難題