Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，右焦點F的坐標(biāo)為（3，0），直線l：x+2y-2=0交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為M（1，

1

2

），
（1）求橢圓的方程；
（2）動點N滿足

NA

•

NB

=0，求動點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法及線段AB中點M(1，

1

2

)，可得m=4n，與m-n=9聯(lián)立，即可得到橢圓的方程；
（2）由

x2

12

+

y2

3

=1，x+2y=2，消元求出A(1-

5

，

1+ 5

2

)，因為

NA

•

NB

=0，所以動點N的軌跡是以M為圓心，|AB|為直徑的圓，由此可得N的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

m

+

y12

n

=1①，

x22

m

+

y22

n

=1②
①-②，可得

(x1+x2)(x1-x2)

m

=-

(y1+y2)(y1-y2)

n

因為線段AB中點M(1，

1

2

)，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
所以

-n(x1+x2)

m(y1+y2)

=kAB=-

1

2

所以m=4n，
因為m-n=9，所以m=12，n=3
所以橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1（ 6分）
（2）由

x2

12

+

y2

3

=1，x+2y=2，消元可得y²-y-1=0，則：A(1-

5

，

1+ 5

2

)
因為

NA

•

NB

=0，所以動點N的軌跡是以M為圓心，|AB|為直徑的圓
所以r2=|AM|2=(

5

)2+(

1

2

-

1+ 5

2

)2=

25

4

，M(1，

1

2

)
所以N的軌跡方程為(x-1)2+(x-

1

2

)2=

25

4

（6分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑．