Question

在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x（萬元）和需求量Y（t）之間的一組數(shù)據(jù)為：

價(jià)格x	1.4	1.6	1.8	2	2.2
需求量Y	12	10	7	5	3

（1）在右面的坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖；

（2）求出Y對x的回歸直線方程 

y

=

a

+

b

x；（其中：

b

=

n i=1 xiyi-n  . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

= 

.

y

- 

b

.

x

參考數(shù)據(jù)1.4²+1.6²+1.8²+2²+2.2²=16.6）

序號(hào)
1
2
3
4
5
求和

（3）回答下列問題：
（i）若價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是多少？（精確到0.01t）
（ii）當(dāng)價(jià)格定為多少時(shí)，商品將出現(xiàn)滯銷？（精確到0.01萬元）
（iii）當(dāng)價(jià)格定為多少時(shí)，獲得的收益最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表中給的數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖；
（2）將表中所給的數(shù)據(jù)代入公式：

b

=

n i=1 xiyi-n  . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

= 

.

y

- 

b

.

x

，求出

b

，

a

的值，進(jìn)一步求出Y對x的回歸直線方程．
（3））（i）將x=1.9代入

?

y

=-11.5x+28.1得y=6.25，得到價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是6.25．
（ii）令

?

y

=-11.5x+28.1=0得x=2.44，得到當(dāng)價(jià)格定為2.44時(shí)，商品將出現(xiàn)滯銷；
（iii）獲得的收益z=x

y

=-11.5x²+28.1x，求出二次函數(shù)的對稱軸，即為獲得的收益最大時(shí)價(jià)格的值．

解答：解：（1）

（2）解：由數(shù)據(jù)表可得

.

x

=

1.4+1.6+1.8+2+2.2

5

=1.8，

.

y

=

12+10+7+5+3

5

=7.4，
∴

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=-11.5，

a

=

.

y

-

b

.

x

=28.1，
∴回歸直線方程為

?

y

=-11.5x+28.1
（3）（i）將x=1.9代入

?

y

=-11.5x+28.1得y=6.25，
所以價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是6.25．
（ii）令

?

y

=-11.5x+28.1=0得x=2.44，
所以當(dāng)價(jià)格定為2.44時(shí)，商品將出現(xiàn)滯銷；
（iii）獲得的收益z=x

y

=-11.5x²+28.1x，
當(dāng)x=1.22時(shí)，z最大，所以當(dāng)價(jià)格定為1.22時(shí)，獲得的收益最大．．

點(diǎn)評：本題考查線性回歸方程，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法寫出線性回歸系數(shù)，注意解題的運(yùn)算過程不要出錯(cuò)．