Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

(1) 若直線PA平分線段MN，求k的值；

(2) 當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；

(3) 對任意k>0，求證：PA⊥PB.

 

Answer 1

 (1) 解：由題設知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以線段MN中點的坐標為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點．又直線PA過坐標原點，所以k＝＝.

(2) 解：將直線PA的方程y＝2x代入橢圓方程＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.因此，d＝

(3) 證明：設P(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁>0，x₂>0，x₁≠x₂，A(－x₁，－y₁)，C(x₁，0)，設直線PA、PB、AB的斜率分別為k、k₁、k₂.因為C在直線AB上，所以k₂＝＝＝.從而k₁k＋1＝2k₁k₂＋1＝2·＋1＝＋1＝＝0.

因此k₁k＝－1，所以PA⊥PB.