Question

如圖：在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，點P，M分別是SC和SB的中點，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角60°
（Ⅰ）求證：平面MAP⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）求AP和CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得SC⊥BC，結(jié)合∠ACB=90°及線面垂直的判定定理可得BC⊥平面SAC，由三角形中位線定理可得PM∥BC，結(jié)合線面垂直的第二判定定理可得PM⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面MAP⊥平面SAC；
（Ⅱ）取BC的中點D，連MD，在平面ABC內(nèi)作DE⊥AB于E，連ME，可證得∠MED即為二面角M-AB-C的平面角，解三角形MED可得二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）作AF

∥

.

CD，則AF

∥

.

PM，可證得∠CMF或其補(bǔ)角即為AP與CM所成的角，解三角形CMF可得AP和CM所成角的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）∵SC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SC⊥BC，
又∵BC⊥AC，SC∩AC=C，SC，AC?平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，
∵點P，M分別是SC和SB的中點，
∴PM∥BC，
∴PM⊥平面SAC，
∵PM?平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC
解：（ II）取BC的中點D，連MD，在平面ABC內(nèi)作DE⊥AB于E，連ME，
由M，D分別為SB，BC的中點，
可得MD∥SC，MD=

1

2

SC
由SC⊥平面ABC，可得MD⊥平面ABC，
則∠MED即為二面角M-AB-C的平面角，
∵直線AM與直線SC所成的角60°，MD∥SC，
∴∠AMD=60°，
∵PM=AC=CD=BD=1，
∴AD=

2

，MD=

6

3

，DE=

5

5

，
∴tan∠MED=

MD

DE

=

30

3

 
（Ⅲ）作AF

∥

.

CD，則AF

∥

.

PM
即四邊形AFMP為平行四邊形
則AP∥FM
則∠CMF或其補(bǔ)角即為AP與CM所成的角，
∵CM=

15

3

，MF=

15

3

，CF=

2

，
由余弦定理得cos∠CMF=

2

5

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中構(gòu)造出空間線面夾角，異面直線夾角的平面角，將空間角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解答的關(guān)鍵．