Question

某種汽車的購車費用是10萬元，每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為0.9萬元，年維修費用第一年是0.2萬元，第二年是0.4萬元，第三年是0.6萬元，…，以后逐年遞增0.2萬元．汽車的購車費用、每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費、維修費用的和平均攤到每一年的費用叫做年平均費用．設(shè)這種汽車使用x（x∈N^*）年的維修費用為g（x），年平均費用為f（x）．
（1）求出函數(shù)g（x），f（x）的解析式；
（2）這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最��？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)年維修費用第一年是0.2萬元，第二年是0.4萬元，第三年是0.6萬元，…，以后逐年遞增0.2萬元，組成一等差數(shù)列，故可得使用x年的維修總費用函數(shù)g（x）的解析式；根據(jù)年平均費用的定義可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用基本不等式，即可求年平均費用最�。�

解答：解：（1）由題意知，年維修費用第一年是0.2萬元，第二年是0.4萬元，第三年是0.6萬元，…，以后逐年遞增0.2萬元，組成一等差數(shù)列，所以使用x年的維修總費用為g（x）=

x(0.2+0.2x)

2

=0.1x+0.1x2萬元------（3分）
依題得f(x)=

1

x

[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=

1

x

(10+x+0.1x2)--------（6分）
（2）f（x）=

10

x

+

x

10

+1≥2

10 x • x 10

+1=3------------（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)

10

x

=

x

10

即x=10時取等號-----------（10分）
∴x=10時y取得最小值3 萬元
答：這種汽車使用10年時，它的年平均費用最小，最小值是3萬元．-----（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的運用，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建函數(shù)，屬于中檔題．