Question

已知不等式mx²-mx-1＜0．
（1）若對(duì)?x∈R不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)?x∈[1，3]不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對(duì)滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）要使不等式mx²-mx-1＜0恒成立，
①若m=0，顯然-1＜0；
②若m≠0，則，解得-4＜m＜0，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-4＜m≤0}．
（2）令f（x）=mx²-mx-1，
①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-1＜0顯然恒成立；
②當(dāng)m＞0時(shí)，若對(duì)?x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可，
所以，解得m＜，
所以0＜m＜；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=，若對(duì)?x∈[1，3]不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象知只需f（1）＜0即可，解得m∈R，所以m＜0，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＜}；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，
若對(duì)滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，則只需即可，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|}．
分析：（1）分情況討論：若m=0易判斷；當(dāng)m≠0時(shí)，則有，解出m，綜合兩種情況即得m范圍；
（2）令f（x）=mx²-mx-1，分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)m=0時(shí)易判斷；當(dāng)m＞0時(shí)，由題意可得，從而得m的不等式組；當(dāng)m＜0時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得f（1）＜0，三者結(jié)合可求得m的取值范圍；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，由題意可得，解此關(guān)于x的不等式組即可求得x的范圍；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，解決恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，有時(shí)采取數(shù)形結(jié)合會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算．