Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），下列命題：
①若方程f（x）=x無實數根，則方程f[f（x）]=x也一定沒有實數根；
②若a＞0，且方程f（x）=x無實數根，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立；
③若1＜a＜3，b=2a，且有x₁＜x₂，x₁+x₂=1-a，則f（x₁）＜f（x₂）．
其中所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，可知：
①f[f（x）]=x也一定沒有實數根；可得：①正確；
②若a＜0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②錯誤；
③若1＜a＜3，b=2a，則函數f（x）的圖象開口朝上，且以直線x=-1為對稱軸，根據x₂距離對稱軸更遠，可得③正確；

解答： 解：由函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，可知：
①f[f（x）]=x也一定沒有實數根；故①正確；
②若a＜0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②錯誤；
③若1＜a＜3，b=2a，則函數f（x）的圖象開口朝上，且以直線x=-1為對稱軸，
又由x₁＜x₂，x₁+x₂=1-a∈（-2，0），則x₂距離對稱軸更遠，故f（x₁）＜f（x₂）．故③正確；
故正確的結論的序號為：①，③，
故答案為：①，③

點評：本題考查二次函數的性質，難點在于對函數的圖象與性質的正確理解與應用，屬于難題．