Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^-x（a≠0）的圖象過點（0，-2），且在該點的切線方程為4x-y-2=0．
（Ⅰ）若f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-m恰好有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c的值，求導函數(shù)，利用切線方程可得b=的值，根據(jù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，可得（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立，由此可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-m恰好有一個零點，即y=m和y=f（x）恰好有一個交點，求導函數(shù)，再進行分類討論：①當a＞0時，f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

），（2，+∞）單調(diào)遞減，在(-

2

a

，2)上單調(diào)遞增；②當a＜0時：（�。┊�-

2

a

＞2，即-1＜a＜0時，f（x）在區(qū)間（-∞，2），（-

2

a

，+∞）單調(diào)遞增，在（2，-

2

a

）上單調(diào)遞減；（ⅱ）當-

2

a

＜2時，即a＜-1 時，f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

），（2，+∞）單調(diào)遞增，在（-

2

a

，2）上單調(diào)遞減；（ⅲ）-

2

a

=2時，即a=-1時，f（x）在R上單調(diào)增，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2…（1分）
求導函數(shù)可得f′（x）=（-ax²+2ax-bx+b-c）e^-x，∴f′（0）=（b-c）e⁰=b-c
∵切線方程為4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2…（3分）
∴f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
∵f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立
即-ax-2≥0，∴a≤-

2

x

，∴a≤-1 …（5分）
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-m恰好有一個零點，即y=m和y=f（x）恰好有一個交點
∵f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，

①當a＞0時，f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

），（2，+∞）單調(diào)遞減，在(-

2

a

，2)上單調(diào)遞增，極大值為f（2）=（4a+2）e^-2，極小值為f（-

2

a

）=-2e

2

a

，（當x趨向于+∞時圖象在x軸上方，并且無限接近于x軸）
所以m=(-2)e

2

a

或m＞（4a+2）e^-2，…（8分）
②當a＜0時：（�。┊�-

2

a

＞2，即-1＜a＜0時，f（x）在區(qū)間（-∞，2），（-

2

a

，+∞）單調(diào)遞增，在（2，-

2

a

）上單調(diào)遞減，極大值f（2）=（4a+2）e^-2，極小值為f（-

2

a

）=-2e

2

a

，（當x趨向于+∞時圖象在x軸下方，并且無限接近于x軸）
當（4a+2）e^-2≥0，即-

1

2

≤a＜0時，m=（4a+2）e^-2或m＜(-2)e

2

a

當（4a+2）e^-2＜0，即-1＜a＜-

1

2

時，（4a+2）e^-2＜m＜0或m＜(-2)e

2

a

…（11分）
（ⅱ）當-

2

a

＜2時，即a＜-1 時，f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

），（2，+∞）單調(diào)遞增，在（-

2

a

，2）上單調(diào)遞減，極小值為f（2）=（4a+2）e^-2，極大值為f（-

2

a

）=-2e

2

a

，（當x趨向于+∞時圖象在x軸下方，并且無限接近于x軸）
∴m=(-2)e

2

a

或m＜（4a+2）e^-2，…（13分）
（ⅲ）-

2

a

=2時，即a=-1時，f（x）在R上單調(diào)增（當x趨向于+∞時圖象在x軸下方，并且無限接近于x軸），此時m＜0 …（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關(guān)鍵．