Question

定義域為[a，b]的函數y=f（x）的圖象的兩個端點A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1-λ）b（λ∈R），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，其中O為坐標原點，若不等式|

MN

|≤k恒成立，則稱函數f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數y=x+

1

x

在[1，2]上“k階線性近似”，則實數k的取值范圍為（　�。�

• A、[0，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、[

  3

  2

  -

  2

  ，+∞）
• D、[

  3

  2

  +

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：根據已知條件可求出A（1，2），B(2，

5

2

)，并且可求出直線AB的方程為y=

1

2

(x+3)，求出M，N兩點的坐標，容易發(fā)現橫坐標相同，并根據已知條件知N點在直線AB上，所以得到|

MN

|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|．可通過導數的方法求得

x

2

+

1

x

的范圍為[

2

，

3

2

]，所以便得到|

MN

|=

3

2

-(

x

2

+

1

x

)≤

3

2

-

2

，所以只需k≥

3

2

-

2

．

解答： 解：由題意知a=1，b=2，所以A（1，2）B(2，

5

2

)；
∴直線AB的方程為y=

1

2

(x+3)；
∵x_M=λ+2（1-λ）=2-λ；

ON

=λ(1，2)+(1-λ)(2，

5

2

)=(2-λ，

5

2

-

λ

2

)；
∴M，N兩點的橫坐標相同，且點N在直線AB上；
∴|

MN

|=|yM-yN|=|x+

1

x

-

1

2

(x+3)|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|；
∵

x

2

+

1

x

≥2

x 2 • 1 x

=

2

，

x

2

+

1

x

≤

3

2

；
∴|

MN

|=

3

2

-(

x

2

+

1

x

)≤

3

2

-

2

；
∴要使|

MN

|≤k恒成立，則k≥

3

2

-

2

；
∴實數k的取值范圍為[

3

2

-

2

，+∞]．
故選C．

點評：考查直線的點斜式方程，向量坐標的加法及數乘運算，根據

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

可判斷出點N，A，B共線，以及對k階線性近似概念的理解與運用，基本不等式．